已知m∈C,关于x的方程x2+mx+3+4i=0有实数解,求复数m的模的取值范围

Question

已知m∈C,关于x的方程x2+mx+3+4i=0有实数解,求复数m的模的取值范围

Answer 1

设m=a+bi,实数根为x,(x=0显然不是方程的根)
则有x²+x(a+bi)+3+4i=0
x²+ax+3+i(bx+4)=0
则x²+ax+3=0,
bx+4=0
得：a=-x-3/x
b=-4/x
|m|²=a²+b²=x²+6+9/x²+16/x²=x²+25/x²+6
由均值不等式,x²+25/x²>=10,当x²=25/x²,即x²=5时取等号.
所以|m|²>=10+6=16
即|m|>=4