已知函数f（x）=1+x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+……+(x^2011)/2011,g(x)=1-x+(x^2)/2-(x^3)/3+(x^4)/4-……-(x^2011)/2011,设F（x）=f（x+3）*g（x-3）,qie函数F(x)的零点均在区间a,b（a

Question

已知函数f（x）=1+x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+……+(x^2011)/2011,g(x)=1-x+(x^2)/2-(x^3)/3+(x^4)/4-……-(x^2011)/2011,设F（x）=f（x+3）*g（x-3）,qie函数F(x)的零点均在区间【a,b】（a

Answer 1

两式相加,我们容易得到：f(x)+g(x)=2
对于f(x),求导,我们有：
f'(x)=1-x+x^2-x^3.+x^2010
当x=-1时,f'(-1)=2011
当x≠-1时,
f'(x)=(1-(-x)^2011)/(1-(-x))
=(1+x^2011)/(1+x)
x>-1时 f'(x)>0,单调增
x0,
所以 f(x)是单调增函数
因为f(x)+g(x)=2,所以g(x)是单调减函数
同时,我们容易验证
f(0)=1>0
f(-1)=1-1-1/2-...-1/2011