求Z=根号下x的平方加y的平方被柱面z的平方等于2X所割下部分的面积用二重积分,会的帮个忙呀

Question

求Z=根号下x的平方加y的平方被柱面z的平方等于2X所割下部分的面积
用二重积分,会的帮个忙呀

Answer 1

∵z=√(x²+y²)
∴z'x=x/√(x²+y²),z'y=y/√(x²+y²)
==>√(1+z'x²+z'y²)=√2
∵z=√(x²+y²)被z²=2x所割下部分在xy平面上的投影是圆(x-1)²+y²=1
∴所求面积=2∫(0,π/2)dθ∫(0,2cosθ)√2rdr (利用图形的对称性,应用极坐标变换)
=2√2∫(0,π/2)cos²θdθ
=√2∫(0,π/2)[1+cos(2θ)]dθ
=√2*(π/2)
=√2π/2.