已知2阶矩阵A=(第一行3,-2,第二行-2,3),求f(A)=A^10-5A^9刘老师,为什么A^10-5A^9不能直接求出A^10和5A^9在用矩阵的加减呢?

Question

已知2阶矩阵A=(第一行3,-2,第二行-2,3),求f(A)=A^10-5A^9
刘老师,为什么A^10-5A^9不能直接求出A^10和5A^9在用矩阵的加减呢?

Answer 1

求得特征值为:5, 1,对应的特征i向量为(1, -1)转置, (1, 1)转置.
它们正交,再单位化为:(根号2)/2 *(1, -1)转置, (根号2)/2 *(1, 1)转置
构成正交阵:p=(根号2)/2* (1 1 )
(-1 1 )
有p逆 A p= diag (5, 1)
故A=p diag(5 ,1) p逆.
故:f(A)=A^10-5A^9 =A^9 (A-5E)= (p [diag(5,1)]^9 p逆)(A-5E)=p[diag(5^9, 1)p逆](A-5E)
= (1/2)(5^9 +1 - 5^9+1 )
(-5^9 +1 5^9 +1 ) (A-5E)
求得A-5E = - (2 2 )
(2 2 )
最后得f(A)=-2( 1 1)
(1 1)