半径为1的球内切与一个圆锥,当圆锥的底面半径为多少时,圆锥的体积最小?

Question

半径为1的球内切与一个圆锥,当圆锥的底面半径为多少时,圆锥的体积最小?

Answer 1

（自己先把图形画出来）假设底半径为x,顶点到锥面切点距离为y,则由勾股定理（在母线和底面圆心构成的直角三角形中）有：（x+y)^2=x^2+((y^2+1)的平方根+1)^2,化简可得：xy=1+根号(y^2+1) （1）.而圆锥体积V=3分之派x^3×y （2）,令a=1+(1+y^2)的平方根,b=y,由（1）（2）式化去x并且用a b代入,可化简得到V=3分之派×[a+2a^2/(a^2-2a)],中括号内可化为：[(a-2)+4/(a-2)]+4,由均值不等式显然有当a-2=4/(a-2)时,取得最小值,此时a=4,求出y=根号8,x=根号2.