已知函数f（x）=2ax+1x（a∈R）．（1）当0＜a≤12时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的结论；（2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=2ax+(1)/(x)（a∈R）．
（1）当0＜a≤(1)/(2)时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的结论；
（2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）在（0，1]上的单调性递减，
理由如下：
设x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2ax₁+(1)/(x1)-2ax₂-(1)/(x2)=2a（x₁-x₂）+(x2−x1)/(x1x2)=(x2−x1)/(x1x2)（1-2ax₁x₂），
∵x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，0＜a≤(1)/(2)，
∴x₂-x₁＞0，0＜x₁•x₂＜1，0＜2ax₁x₂＜1，1-2ax₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，1]上的单调性递减，
（2）∵f（x）=2ax+(1)/(x)，
∴f′（x）=2a-(1)/(x2)=(2ax2−1)/(x2)，
①当a≤0时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，1]单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=2a≥6，
解得a≤3，
∴a≤0时，对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，
②当a＞0时，
令f′（x）=0，解得x=√((1)/(2a))，
当f′（x）＞0，即x＞√((1)/(2a))，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，即0＜x＜√((1)/(2a))，函数f（x）单调递减，
当√((1)/(2a))≥1时，即0＜a≤(1)/(2)时，f（x）在（0，1]上的单调性递减，
∴f（x）_min=f（1）=2a≥6恒成立
解得a≤3，
∴0＜a≤(1)/(2)时对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，
当√((1)/(2a))＜1时，即a＞(1)/(2)时，
∴f（x）在（0，√((1)/(2a))]上的单调性递减，在（√((1)/(2a))，1）上单调递增，
∴f（x）_min=f（√((1)/(2a))）=2a•√((1)/(2a))+√(2a)≥6恒成立，
解得a≥(9)/(2)，
综上所述实数a的取值范围为（-∞，(1)/(2)]∪[(9)/(2)，+∞）