设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）>0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”

Question

设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）>0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”；已知f（x）=-

(1)/(12)x 4+(m)/(6)x3+(3)/(2)x2在（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（　　）

A. [2，+∞）

B. [

(31)/(9)，5]

C. （2，+∞）

D. （

(31)/(9)，+∞）

Answer 1

∵f（x）=-(1)/(12)x 4+(m)/(6)x3+(3)/(2)x2，
∴f′（x）=-(1)/(3)x³+(m)/(2)x²+3x，
∴f″（x）=-x²+mx+3，
由题意得：-x²+mx+3>0在（1，3）恒成立，
即m>x-(3)/(x)在（1，3）恒成立，
令g（x）=x-(3)/(x)，g′（x）=1+(3)/(x2)>0，
∴g（x）在（1，3）递增，g（x）_max<g（3）=2，
故m≥2，
故选：A．