如图，抛物线y=12x2-x-4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．（1）直接写出A、B、C的坐标；（2）求抛物线y=12x2-x-4的对称轴和顶点坐

Question

如图，抛物线y=(1)/(2)x2-x-4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．

（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）求抛物线y=(1)/(2)x2-x-4的对称轴和顶点坐标；
（3）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．

Answer 1

（1）A（4，0）、B（-2，0）、C（0，-4）．
（2）抛物线：y=(1)/(2)x2-x-4=(1)/(2)(x-1)2-(9)/(2)，
∴抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-(9)/(2)）．
（3）设P（x，0）（-2<x<4），
∵PD∥AC，
∴(PD)/(AC)=(BP)/(AB)，
解得：PD=(2√(2))/(3)(x+2)，
∵C到PD的距离（即P到AC的距离）：d=PA×sin450=(√(2))/(2)(4-x)，
∴△PCD的面积S=(1)/(2)×PD×d=(1)/(3)(x+2)(4-x)=-(1)/(3)x2+(2)/(3)x+(8)/(3)，
∴S=-(1)/(3)(x-1)2+3，
∴△PCD面积的最大值为3，
当△PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4-x=3，PD=(2√(2))/(3)(x+2)=2√(2)，
因为PA≠PD，所以以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．