证明：若函数f（x）在（-∞,+∞）内满足f’（x）=f（x）证明:若函数f(x)在(-∞,+∞)内满足f’(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x

Question

证明：若函数f（x）在（-∞,+∞）内满足f’（x）=f（x）
证明:若函数f(x)在(-∞,+∞)内满足f’(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x

Answer 1

令 g(x) = e^(-x) f(x)
则 g'(x) = e^(-x) ( f'(x)-f(x) ) =0
这说明 g(x) = e^(-x) f(x) = C 为常数函数
而 g(x) = f(0) =1 =C
所以 g(x) = e^(-x) f(x)=1
即 f(x)=e^x
如果你学过微分方程,直接解方程也可以得到答案.