用高中数学方法可求出球面积4兀r^2.

Question

用高中数学方法可求出球面积4兀r^2.

Answer 1

球的表面积 S=4πR的平方
推导方法用极限理论
设球 的半径为 R,我们把球面任意分割为一些“小球面片”,它们的面积分别用△S1,△S2, △S3.△Si...表示,则球的表面积:
S=△S1+△S2+ △S3+...+△Si+...
以这些“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积,这些“小锥体”可近似地看成棱锥,“小锥体”的底面积△Si 可近似地等于“小锥体”的底面积,球的半径R 近似地等于小棱锥的高hi ,因此,第i个小棱锥的体积Vi=hi* △Si,当“小锥体”的底面非常小时,“小锥体”的底面几乎是“平的”,于是球的体积:V≈(h1* △S1+h2* △S2+...hi* △Si+...)/3.又∵hi≈R且S= △S1+△S2+...△Si+...
∴可得 V≈RS/3,
又∵V=4πRΔ3/4(3分之4倍的πR的立方),
∴S=4πR的平方 即为球的表面积公式
可参考高二数学教材.