已知函数，，．(1)若，试判断并证明函数的单调性；(2)当时，求函数的最大值的表达式．

Question

已知函数 ， ， ．
(1)若 ，试判断并证明函数 的单调性；
(2)当 时，求函数 的最大值的表达式 ．

Answer 1

已知函数 ， ， ．
(1)若 ，试判断并证明函数 的单调性；
(2)当 时，求函数 的最大值的表达式 ．

(1)判断：若 ，函数 在 上是增函数. 用单调性的定义证明即可， (2)   

试题分析：(1)判断：若 ，函数 在 上是增函数.          …………2分
证明：当 时， ，在区间 上任意 ，设 ，

所以 ，即 在 上是增函数.        …… 7分
(注：用导数法证明或其它方法说明也同样给7分)
(2)因为 ，所以 …… 9分
①当 时， 在 上是增函数，在 上也是增函数，
所以当 时， 取得最大值为 ；                   …… 10分
②当 时， 在 上是增函数，
在 上是减函数，在 上是增函数，
而 ，
当 时， ，当 时，函数 取最大值为 ；
当 时， ，当 时，函数 取最大值为 ；
综上得，   ……14分
点评：利用函数的单调性是解决函数最值及值域的最基本的方法，另外函数单调性的定义是证明单调性的最基本的方法，要掌握其步骤