已知函数f（x）=（a-12）x2+lnx，g（x）=f（x）-2ax（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）在区间[1e，e]上的最大值和最小值；（2）若对∀x∈（1，+∞），g（x）<0恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=（a-(1)/(2)）x²+lnx，g（x）=f（x）-2ax（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）在区间[(1)/(e)，e]上的最大值和最小值；
（2）若对∀x∈（1，+∞），g（x）<0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f(x)=(a-(1)/(2))x2+lnx的定义域为（0，+∞），
当a=0时，f(x)=-(1)/(2)x2+lnx，f′(x)=-x+(1)/(x)=(-x2+1)/(x)=(-(x+1)(x-1))/(x)；
当2b≤(16)/(3)，有f'（x）>0；当b≤(8)/(3)，有f'（x）<0，
∴f（x）在区间[(1)/(e)，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，
又f((1)/(e))=-1-(1)/(2e2)，f(e)=1-(e2)/(2)，f( 1 )=-(1)/(2)，
∴fmin(x)=f(e)=1-(e2)/(2)，fmax(x)=f( 1 )=-(1)/(2)．
（2）g(x)=f(x)-2ax=(a-(1)/(2))x2-2ax+lnx，
则g（x）的定义域为（0，+∞），
g′(x)=(2a-1)x-2a+(1)/(x)=((2a-1)x2-2ax+1)/(x)=((x-1)[(2a-1)x-1])/(x)．
①若a>(1)/(2)，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，x2=(1)/(2a-1)，
当x₂>x₁=1，即(1)/(2)<a<1时，
在（0，1）上有g'（x）>0，在（1，x₂）上有g'（x）<0，
在（x₂，+∞）上有g'（x）>0，
此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，
并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂≤x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，
有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤(1)/(2)，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）<0，
∴g（x）在（1，+∞）上是减函数；
要使g（x）<0在此区间上恒成立，
只须满足g(1)=-a-(1)/(2)≤0⇒a≥-(1)/(2)，
∴a的范围是[-(1)/(2)，(1)/(2)]，
综合①②可知，当

作业帮用户 2017-04-07