设D是函数y=f（x）定义域内的一个子集，若存在x0∈D，使得f（x0）=-x0成立，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．设函数f（x）=log12（4x+a•2x-1），x∈[0，

Question

设D是函数y=f（x）定义域内的一个子集，若存在x₀∈D，使得f（x₀）=-x₀成立，则称x₀是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．设函数f（x）=log (1)/(2)（4^x+a•2^x-1），x∈[0，1]．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的次不动点
（Ⅱ）若函数f（x）在[0，1]上不存在次不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=log(1)/(2)(4x+2x-1)，
依题，得log(1)/(2)(4x+2x-1)=-x，
∴4^x+2^x-1=((1)/(2))-x，
∴4^x+2^x-1=2^x，
∴4^x=1，
∴x=0，
∴函数f（x）的次不动点为0；
（Ⅱ）根据已知，得log (1)/(2)（4^x+a•2^x-1）=-x在[0，1]上无解，
∴4^x+a•2^x-1=2^x在[0，1]上无解，
令2^x=t，t∈[1，2]，
∴t²+（a-1）t-1=0在区间[1，2]上无解，
∴a=1-t+(1)/(t)在区间[1，2]上无解，
设g（t）=1-t+(1)/(t)，
∴g（t）在区间[1，2]上单调递减，
故g（t）∈[-(1)/(2)，1]，
∴a<-(1)/(2)或a>1，
又∵4^x+a•2^x-1>0在[0，1]上恒成立，
∴a>(1)/(2x)-2x在[0，1]上恒成立，
即a>(1)/(t)-t在[1，2]上恒成立，
设h（t）=(1)/(t)-t，
∴h（t）在区间[1，2]上单调递减，
故g（t）∈[-(3)/(2)，0]，
∴a>0，
综上实数a的取值范围（1，+∞）．