定义在区间（－L,L）上,证明：①两个偶函数的和,两个奇函数的和均是奇函数；②两个偶函数的积,两个奇函数的积均是偶函数,一偶一奇的积是奇函数；③在对称区间上的任意一个函数都可表

Question

定义在区间（－L,L）上,证明：①两个偶函数的和,两个奇函数的和均是奇函数；②两个偶函数的积,两个奇函数的积均是偶函数,一偶一奇的积是奇函数；③在对称区间上的任意一个函数都可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.帮我证明出来吧,证明过程写在纸上,用照片发过来吧!

Answer 1

题目第一个应为两个偶相加为偶.
证：设f(x)为偶,g(x)为偶,则f(x)=f(-x),g(x)=g(-x) ,F(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=F(-x).
偶乘偶为偶 K(x)=f(x)*g(x)= f(-x)*g(-x) =K(-x).
f(x)为奇,g(x)为奇,则f(x)=-f(-x),g(x)=-g(-x) ,F(x)=f(x)+g(x)=-f(-x)+-g(-x)=-F(-x).
奇乘奇为偶,K(x)=f(x)*g(x)= [-f(-x)]*[-g(-x)] =K(-x).
f(x)为偶,g(x)为奇,f(x)=f(-x),g(x)=-g(-x) 奇乘偶为奇,K(x)=f(x)*g(x)= f(-x)*[-g(-x)] =-K(-x).
第3个题答案：对称区间任意函数f(x).有f(x)=[f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)]/2=[f(x)+f(-x)]/2 +[f(x)-f(-x)]/2
=偶 +奇