如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60度．（1）求∠AOC的度数；（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O

Question

如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60度．

（1）求∠AOC的度数；
（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；
（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S_△MAO=S_△CAO时，求动点M所经过的弧长．

Answer 1

（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等边三角形∴∠AOC=60°．
（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径．
∴CP⊥OC，又∵∠OAC=∠AOC=60°，
∴∠P=90°-∠AOC=30°，
∴在Rt△POC中，CO=(1)/(2)PO=4，
则PO=2CO=8；
（3）如图，（每找出一点并求出弧长得1分）
①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁．
易得S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°
∴

AM1

＝(4π)/(180°)×60°＝(4)/(3)π
∴当点M运动到M₁时，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为(4)/(3)π．
②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，易得S_△M2AO=S_△CAO．
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴

AM2

＝(4π)/(3)×2＝(8)/(3)π或

AM2

＝(4π)/(180°)×120°＝(8)/(3)π
∴当点M运动到M₂时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为(8)/(3)π．
③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，易得S_△M3AO=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴

AM2

M3＝(4π)/(180°)×240°＝(16)/(3)π或

AM2

M3＝(8π)/(3)×2＝(16)/(3)π
∴当点M运动到M₃时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为(16)/(3)π．
④当点M运动到C时，M与C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为(4π)/(180°)×300°＝(20)/(3)π或(16)/(3)π+(4)/(3)π＝(20)/(3)π．