AAT=A^2成立吗?在什么条件下成立T是矩阵的转置

Question

AAT=A^2 成立吗?在什么条件下成立
T是矩阵的转置

Answer 1

这是个定理：
A A^T = A^2,当且仅当 A 是对称矩阵.
必要性是显然的.A 对称,则：A^T = A,所以 A A^T = A^2
充分性.
任何一个矩阵 A,都可以写成一个对称阵和一个反对称阵的和,也就是：
A = H + K
其中,H = (A + A^T) / 2 是对称矩阵,K = (A - A^T) / 2 是反对称矩阵.
A^T = (H + K)^T = H - K,代入：A A^T = A^2
(H + K) (H - K) = (H + K) (H + K)
化简得到：HK = -K^2
有个叫：Frobenius 内积 的东西,定义是：X,Y 是2个矩阵,则：
= (X 和 Y 的 n*n 个一一对应的元素相乘,再求和)
又可以写成：= tr(X^T Y),其中 tr() 是矩阵的迹（对角线元素的和）.
是个内积,也就是 = 0 当且仅当 X = 0.
再回到我们的问题：HK = -K^2
因为 H 对称,K 反对称,所以：H^T K = K^T K
所以：tr(H^T K) = tr(K^T K)
所以：=
因为 H 对称,K 反对称,所以对应元素相乘并求和的话,应该是 0.
所以：= 0,也就是：= 0
所以：K = 0
所以：A = H + K = H 是个对称矩阵.
BTW：关于充分性的证明,如果 A 是可逆的,则很简单就能证出来.
将 A A^T = A^2 同时左乘 A^(-1) 即可.