函数f（x）=ae2cosx（x∈[0，+∞），记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．（1）证明：数列{f（xn）}是等比数列；（2）若对一切n∈N*，xn≤|f（xn）|恒成立，求a的取值范围．

Question

函数f（x）=ae²cosx（x∈[0，+∞），记x_n为f（x）的从小到大的第n（n∈N^*）个极值点．
（1）证明：数列{f（x_n）}是等比数列；
（2）若对一切n∈N^*，x_n≤|f（x_n）|恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）证明：函数f（x）=ae^xcosx的导数为f′（x）=ae^x（cosx-sinx），
a>0，x≥0，则e^x≥1，
由f′（x）=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=kπ+(π)/(4)，k=0，1，2，…，
当k为奇数时，f′（x）在kπ+(π)/(4)附近左负右正，
当k为偶数时，f′（x）在kπ+(π)/(4)附近左正右负．
故x=kπ+(π)/(4)，k=0，1，2，…，均为极值点，
x_n=（n-1）π+(π)/(4)=nπ-(3π)/(4)，
f（x_n）=aenπ-(3π)/(4)cos（nπ-(5π)/(4)），f（x_n+1）=aenπ+(π)/(4)cos（nπ+(π)/(4)），
当n为偶数时，f（x_n+1）=-e^πf（x_n），
当n为奇数时，f（x_n+1）=-e^πf（x_n），
即有数列{f（x_n）}是等比数列；
（2） 由于x₁≤|f（x₁）|，则(π)/(4)≤(√(2))/(2)ae(π)/(4)，
解得a≥(√(2))/(4)πe-(π)/(4)，
下面证明8ⁿ>4n+3．
当n=1时，8>7显然成立，假设n=k时，8^k>4k+3，
当n=k+1时，8^k+1=8•8^k>8（4k+3）=32k+24
=4（k+1）+28k+20>4（k+1）+3，
即有n=k+1时，不等式成立．
综上可得8ⁿ>4n+3（n∈N+），
由e^π>8，
当a≥(√(2))/(4)πe-(π)/(4)时，
由（Ⅰ）可得|f（x_n+1）|=|（-e^π）|ⁿ|f（x₁）|
>8ⁿ|f（x₁）|=8ⁿf（x₁）>（4n+3）x₁>x_n+1，n∈N+，
综上可得a≥

作业帮用户 2017-02-26

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(√(2))/(4)