定积分一个问题求指点,非具体题已知求一个半球的体积,可以如下方法以半球底面某条直径为轴,做一系列圆柱剖分该半球,得到半圆柱筒形微元,然后积分.不理解为何这样是可行的,为什么可以

Question

定积分一个问题求指点,非具体题
已知求一个半球的体积,可以如下方法
以半球底面某条直径为轴,做一系列圆柱剖分该半球,得到半圆柱筒形微元,然后积分.
不理解为何这样是可行的,为什么可以这样选取微元呢

Answer 1

这样剖分得到的是一系列类似于圆环柱体（管状）的立体图形,就好像一圈圈的把这个半球剥开一样.
这种方法可以是一种求旋转体体积的常见办法,下面给出公式和证明（是我之前回答别人的问题写的,这里引用一下,是原创哦～）
y = f(x) 在[a,b]上连续非负,由曲线f(x), 直线x = a , x = b 及x轴围城的平面绕y轴旋转一周得旋转体
这里采用的是剥层法
近似的把图形看做由若干个圆环柱体的体积之和,当分割T→0时,圆环柱体体积之和等于所求旋转体体积.
在[a,b]上取分割为T的n-1个分点,
得到n个区间：
[x0,x1],[x1,x2],…,[x(i-1),xi],…,[x(n-1),xn]
对每个区间旋转后形成的圆环柱体,
vi=π[(xi)^2-(xi-Δi)^2]*f(ξ)
=π(2xiΔi-Δi^2)*f(ξ)
舍去高价无穷小量
≈2π[xif(ξ)]*Δi
所以体积之和为
∑2π[xif(ξ)]*Δi
=2π∑[xif(ξ)]*Δi
当T→0时,极限等于
2π∫xf(x)dx 积分区间[a,b]
手机手打不容易啊～
希望对楼主有所帮助,望采纳!