已知k为整数，若关于x的二次方程kx2+（2k+3）x+l=O有有理根，则k的值是．

Question

已知k为整数，若关于x的二次方程kx²+（2k+3）x+l=O有有理根，则k的值是______．

Answer 1

∵关于x的二次方程kx²+（2k+3）x+l=O有有理根，
∴△₁=（2k+3）²-4k为完全平方数，
设（2k+3）²-4k=m²（m为正整数），即4k²+8k+9-m²=0①，
将①式看作关于k的二次方程，由题设可知此方程有整数根，故①式的判别式△₂=64-16（9-m²）=16（m²-5）应为完全平方数，
令m²-5=n²（n为正整数，且m＞n），则有（m+n）（m-n）=5，
∴

m+n＝5

m−n＝1

，解得

m＝3

n＝2

，
将m=3代入①式得k=-2或k=0（舍去），
∴k=-2．
故答案为：-2．