如图甲所示，光滑矩形斜面ABCD的倾角为θ=30°，在其上放置一矩形金属线框abcd，ab的边长是l1=1m，bc的边长是l2=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框通过细线绕过定滑轮与重物相连，细线与

Question

如图甲所示，光滑矩形斜面ABCD的倾角为θ=30°，在其上放置一矩形金属线框abcd，ab的边长是l₁=1m，bc的边长是l₂=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框通过细线绕过定滑轮与重物相连，细线与斜面平行且靠近；重物质量M=2kg，离地面的高度是H=4.8m；斜面上efgh区域是有界匀强磁场，磁感应强度的大小为B=0.5T，方向垂直于斜面向上；已知AB到ef的距离为4.2m，ef到gh的距离是0.6m，gh到CD的距离是3.2m，取g=10m/s²，现让线圈从静止开始运动（开始时刻cd边与AB边重合），求：

（1）ab边刚进入磁场时的速度．
（2）通过计算，在图（乙）中画出线框从静止开始运动到cd边与CD重合时，线框的速度-时间图象（不考虑ab边离开斜面后线框存在的翻转）．
（3）线框abcd在整个运动过程中产生的焦耳热．

Answer 1

（1）如图示，线框abcd由静止沿斜面向上运动，到ab与ef重合过程中，
线框受恒力作用，线框和重物以共同的加速度做匀加速运动，
设为a₁，由牛顿第二定律得：
对M：Mg-T=Ma₁，对m：T-mgsinθ=ma₁，（或用整体法对系统直接列方程：Mg-mgsinθ=（M+m）a₁）
代入数据解得：a₁=5m/s²，
设ab恰好要进入磁场的速度为v₀，
由速度位移公式得：v₀²=2a₁s₁，
代入数据解得：v₀=6m/s；
（2）由动能定理得：Mgs1−mgs1sinθ＝(1)/(2)(M+m)

v

2 0

-0，
代入数据解得：v₀=6m/s，
该过程的时间为：t₁=(s1)/(.v1)=(3.6)/((0+6)/(2))=1.2s，
ab边刚进入磁场时由于某种原因切割磁感应线而产生感应电流，
所以线框受到沿斜面向下的安培力作用：FA＝BIl1＝(B2l21v0)/(R)
故此时，F_合=Mg-mgsinθ-F_A=0
故线圈进入磁场后，刚好做匀速运动．直到cd边离开gh的瞬间为止．t₂=(2l2)/(v0)=(2×0.6)/(6)=0.2s，
此时M刚好着地，细绳松驰，线框继续向上做减速运动．设线框的cd边到达CD线的速度为v₁，
则对线框有：−mgs2sinθ＝(1)/(2)m

v

2 1

−(1)/(2)m

v

2 0

，代入数据解得：v₁=2m/s，
运动时间：t₃=(s2)/((v0+v1)/(2))=(3.2)/((6+2)/(2))=0.8s，则线框的速度-时间图象如图所示．

（3）由能量守恒定律得：Q=Mg•2l₂-mg•2l₂sinθ，代入数据解得：Q=18J；
答：（1）ab边刚进入磁场时的速度为6m/s．
（2）图象如图所示．
（3）线框abcd在整个运动过程中产生的焦耳热为18J．