形状为椭球体4X^2+Y^2+4Z^2≤16的空间探测器进入地球大气层,其表面开始受热.一小时后在探测器的点（X,Y,Z）处的温度为T=8X^2+4YZ-16Z+600求探测器表面最热的点?

Question

形状为椭球体4X^2+Y^2+4Z^2≤16的空间探测器进入地球大气层,其表面开始受热.一小时后在探测器的点（X,Y,Z）处的温度为T=8X^2+4YZ-16Z+600
求探测器表面最热的点?

Answer 1

作拉格朗日函数F(x,y,z,λ)= 8X^2+4YZ-16Z+600 - λ·(4X^2+Y^2+4Z^2-16)
令
{
偏F/偏x=16x - 8λ·x =0 ①
偏F/偏y=4z -2λ·y =0 ②
偏F/偏z=4y-16 - 8λ·z =0 ③
偏F/偏λ= -(4X^2+Y^2+4Z^2-16)=0 ④
由①得：x=0或λ=2
由②③得 y=4/(1-λ²),z=2λ/(1-λ²)
将x=0,y=4/(1-λ²),z=2λ/(1-λ²)代入④得
λ= -√3,0或√3
则
λ= √3时,y= -2,z=-√3.
将x=0,y= -2,z=-√3代入T=8X^2+4YZ-16Z+600 得 T=600+24√3
λ= 0时,y= 4,z=0
将x=0,y=4,z=0代入T=8X^2+4YZ-16Z+600 得 T=600
λ= -√3时,y= -2,z=√3.
将x=0,y= -2,z=√3代入T=8X^2+4YZ-16Z+600 得 T=600-24√3
∴表面最热的点是(0,-2,-√3),为600+24√3