已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

Question

³²²

Answer 1

（I）f′（x）=3x²2+4x+1，令f′（x）=0，
解得x1＝−1或x2＝−(1)/(3)．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	(−1，−(1)/(3))	−(1)/(3)	(−(1)/(3)，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；
当x＝−(1)/(3)时，f（x）取得极小值为−(112)/(27)．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）_min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）_min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x²+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝(2a−4)/(3)，
当0＜x＜(2a−4)/(3)时，F′（x）＜0；当x＞(2a−4)/(3)时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F((2a−4)/(3))≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． x1＝−1或x2＝−(1)/(3)．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	(−1，−(1)/(3))	−(1)/(3)	(−(1)/(3)，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；
当x＝−(1)/(3)时，f（x）取得极小值为−(112)/(27)．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）_min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）_min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x²+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝(2a−4)/(3)，
当0＜x＜(2a−4)/(3)时，F′（x）＜0；当x＞(2a−4)/(3)时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F((2a−4)/(3))≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 1＝−1或x2＝−(1)/(3)．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	(−1，−(1)/(3))	−(1)/(3)	(−(1)/(3)，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；
当x＝−(1)/(3)时，f（x）取得极小值为−(112)/(27)．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）_min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）_min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x²+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝(2a−4)/(3)，
当0＜x＜(2a−4)/(3)时，F′（x）＜0；当x＞(2a−4)/(3)时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F((2a−4)/(3))≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 2＝−(1)/(3)111333．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	(−1，−(1)/(3))	−(1)/(3)	(−(1)/(3)，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

x （-∞，-1） -1 (−1，−(1)/(3)) −(1)/(3) (−(1)/(3)，+∞) xx （-∞，-1）（-∞，-1） -1-1 (−1，−(1)/(3))(−1，−(1)/(3))(−1，−(1)/(3)111333) −(1)/(3)−(1)/(3)−(1)/(3)111333 (−(1)/(3)，+∞)(−(1)/(3)，+∞)(−(1)/(3)111333，+∞) f′（x） + 0 - 0 + f′（x）f′（x） ++ 00 -- 00 ++ f（x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 f（x）f（x） 增函数增函数 极大值极大值 减函数减函数 极小值极小值 增函数增函数∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；
当x＝−(1)/(3)时，f（x）取得极小值为−(112)/(27)．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）_min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）_min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x²+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝(2a−4)/(3)，
当0＜x＜(2a−4)/(3)时，F′（x）＜0；当x＞(2a−4)/(3)时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F((2a−4)/(3))≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． x＝−(1)/(3)111333时，f（x）取得极小值为−(112)/(27)．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）_min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）_min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x²+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝(2a−4)/(3)，
当0＜x＜(2a−4)/(3)时，F′（x）＜0；当x＞(2a−4)/(3)时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F((2a−4)/(3))≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． −(112)/(27)112112112272727．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x³3+（2-a）x²2+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）_minmin≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）_minmin=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x²2+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝(2a−4)/(3)，
当0＜x＜(2a−4)/(3)时，F′（x）＜0；当x＞(2a−4)/(3)时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F((2a−4)/(3))≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． x＝(2a−4)/(3)2a−42a−42a−4333，
当0＜x＜(2a−4)/(3)时，F′（x）＜0；当x＞(2a−4)/(3)时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F((2a−4)/(3))≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 0＜x＜(2a−4)/(3)2a−42a−42a−4333时，F′（x）＜0；当x＞(2a−4)/(3)时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F((2a−4)/(3))≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 当x＞(2a−4)/(3)2a−42a−42a−4333时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F((2a−4)/(3))≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． ′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F((2a−4)/(3))≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． F(x)min＝F((2a−4)/(3))≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． min＝F((2a−4)/(3)2a−42a−42a−4333)≥0，即((2a−4)/(3))3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． ((2a−4)/(3)2a−42a−42a−4333)3−(a−2)((2a−4)/(3))2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 3−(a−2)((2a−4)/(3)2a−42a−42a−4333)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]．