早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享
早教吧作业答案频道 -->数学-->

已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

题目详情
322

▼优质解答
答案和解析
（I）f′（x）=3x22+4x+1，令f′（x）=0，
解得x1＝−1或x2＝−
1
3
．
列表如下：
x （-∞，-1） -1 (−1，−
1
3
)		 −
1
3
 (−
1
3
，+∞)
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；
当x＝−
1
3
时，f（x）取得极小值为−
112
27
．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x2+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝
2a−4
3
，
当0＜x＜
2a−4
3
时，F′（x）＜0；当x＞
2a−4
3
时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
2a−4
3
)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． x1＝−1或x2＝−
1
3
．
列表如下：
x （-∞，-1） -1 (−1，−
1
3
)		 −
1
3
 (−
1
3
，+∞)
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；
当x＝−
1
3
时，f（x）取得极小值为−
112
27
．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x2+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝
2a−4
3
，
当0＜x＜
2a−4
3
时，F′（x）＜0；当x＞
2a−4
3
时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
2a−4
3
)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 1＝−1或x2＝−
1
3
．
列表如下：
x （-∞，-1） -1 (−1，−
1
3
)		 −
1
3
 (−
1
3
，+∞)
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；
当x＝−
1
3
时，f（x）取得极小值为−
112
27
．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x2+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝
2a−4
3
，
当0＜x＜
2a−4
3
时，F′（x）＜0；当x＞
2a−4
3
时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
2a−4
3
)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 2＝−
1
3
111333．
列表如下：
x （-∞，-1） -1 (−1，−
1
3
)		 −
1
3
 (−
1
3
，+∞)
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
x （-∞，-1） -1 (−1，−
1
3
) −
1
3
 (−
1
3
，+∞) xx （-∞，-1）（-∞，-1） -1-1 (−1，−
1
3
)(−1，−
1
3
)(−1，−
1
3
111333) −
1
3
−
1
3
−
1
3
111333 (−
1
3
，+∞)(−
1
3
，+∞)(−
1
3
111333，+∞) f′（x） + 0 - 0 + f′（x）f′（x） ++ 00 -- 00 ++ f（x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 f（x）f（x） 增函数增函数 极大值极大值 减函数减函数 极小值极小值 增函数增函数∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；
当x＝−
1
3
时，f（x）取得极小值为−
112
27
．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x2+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝
2a−4
3
，
当0＜x＜
2a−4
3
时，F′（x）＜0；当x＞
2a−4
3
时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
2a−4
3
)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． x＝−
1
3
111333时，f（x）取得极小值为−
112
27
．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x2+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝
2a−4
3
，
当0＜x＜
2a−4
3
时，F′（x）＜0；当x＞
2a−4
3
时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
2a−4
3
)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． −
112
27
112112112272727．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x33+（2-a）x22+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）minmin≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）minmin=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x22+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝
2a−4
3
，
当0＜x＜
2a−4
3
时，F′（x）＜0；当x＞
2a−4
3
时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
2a−4
3
)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． x＝
2a−4
3
2a−42a−42a−4333，
当0＜x＜
2a−4
3
时，F′（x）＜0；当x＞
2a−4
3
时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
2a−4
3
)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 0＜x＜
2a−4
3
2a−42a−42a−4333时，F′（x）＜0；当x＞
2a−4
3
时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
2a−4
3
)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 当x＞
2a−4
3
2a−42a−42a−4333时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
2a−4
3
)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． ′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(
2a−4
3
)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． F(x)min＝F(
2a−4
3
)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． min＝F(
2a−4
3
2a−42a−42a−4333)≥0，即(
2a−4
3
)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． (
2a−4
3
2a−42a−42a−4333)3−(a−2)(
2a−4
3
)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 3−(a−2)(
2a−4
3
2a−42a−42a−4333)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]． 2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]．
看了已知函数f（x）=x3+2x2...的网友还看了以下：

解决下列问题：已知二次根式2x2+2（1）当x=3时，求2x2+2的值．（2）若x是正数，2x2+ 　2020-05-14 …

请先阅读下列解题过程,再仿做下面的题．已知x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值．x3+2x2+ 　2020-05-17 …

已知多项式2x2+3xy-2y2-x+8y-6的值恒等于2x2+3xy-2y2+A（2x-y）+B 　2020-06-27 …

已知关于x、y的方程2x2-y-3=0．（1）请你直接写出该方程的两组整数解；（2）若x＝my＝n 　2020-06-27 …

我们称顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，已知抛物线C1：y=2x2-4x+3．（1）下列抛物线中， 　2020-07-09 …

已知多项式（2x2+ax-y+6）-（2bx2-3x+5y-1）．（1）若多项式的值与字母x的取值 　2020-07-21 …

已知A=2x2+xy+3y-1，B=x2-xy．（1）若（x+2）2+|y-3|=0，求A-2B的 　2020-07-22 …

（1）已知x+y=-4，xy=-10，求y+1x+1+x+1y+1的值．（2）已知x2+3x-1=0 　2020-10-31 …

完成下列各题（1）已知函数y=2x2-ax-a2，当x=1时，y=0，求a的值．（2）若分式x2−3 　2020-11-27 …

已知多项式2x2+3xy-2y2-x+8y-6的值恒等于2x2+3xy-2y2+A（2x-y）+B（ 　2020-12-22 …

©2023 zaojiaoba.cn 手机版 | 关于早教吧