在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（1）如图①，当α=90°时，求AE

Question

在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．
（1）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；
（2）如图②，当α=135°时，求证：AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（3）直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，分别表示出此时点E′、D′、F′的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

（1）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．
∵点A（-2，0）点B（0，2），
∴OA=OB=2，
∵点E，点F分别为OA，OB的中点，
∴OE=OF=1，
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．
在Rt△AE′O中，
AE′=√(OA2+OE2)=√(5)．
在Rt△BOF′中，
BF′=√(OB2+OF2)=√(5)．
∴AE′，BF′的长都等于√(5)；
（2）当α=135°时，如图②．
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°．
在△AOE′和△BOF′中，

AO=BO

∠AOE′=∠BOF′

OE′=OF′

，
∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．
∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，
∴∠CPB=∠AOC=90°，
∴AE′⊥BF′；
（3）点E′（1，0）、D′（1，-1）、F′（0，-1）
如图③，直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，α=180°，P与O重合，
∵OE′=OF′=1，
∴点E′（1，0）、D′（1，-1）、F′（0，-1）．