复变函数|z+2|-|z-2|=3所表示的曲线

Question

复变函数|z+2|-|z-2|=3所表示的曲线

Answer 1

这个简单,就是在变相考你圆锥曲线.
设 z = x + yi,于是 | z+2 | = | (x+2) + yi | = sqrt [ (x+2)^2 + y^2 ],
| z-2 | = | (x-2) + yi | = sqrt [ (x-2)^2 + y^2 ],于是有
sqrt [ (x+2)^2 + y^2 ] - sqrt [ (x-2)^2 + y^2 ] = 3,（1）式
这个式子的含义就是,一个点距离 （-2,0）与（2,0）的距离差恒为3,这是一个双曲线,且是其右支.焦距就是c = 2,a = 3/2,b^2 = 7/4,于是曲线方程就是：
4x^2 / 9 - 4y^2 /7 = 1 (x>=3/2).你如果还要详细过程的话,那么
对（1）式移项,得到：
sqrt [ (x+2)^2 + y^2 ] = 3 + sqrt [ (x-2)^2 + y^2 ],
两边平方,有
(x+2)^2 + y^2 = 9 + (x-2)^2 + y^2 + 6 sqrt [ (x-2)^2 + y^2 ],
即
8x - 9 = 6 sqrt [ (x-2)^2 + y^2 ],两边平方,得到：
64x^2 + 81 - 144x = 36 [ (x-2)^2 + y^2 ],化简得到：
28x^2 - 36y^2 = 63,或者
4x^2/9 - 4y^2/7 = 1 (x>=3/2).