复平面内点A对应的复数是1,过点A作虚轴的平行线L,设L上的点对应的复数为Z,求1/Z所对应的点的轨迹

Question

复平面内点A对应的复数是1,过点A作虚轴的平行线L,设L上的点对应的复数为Z,求1/Z所对应的点的轨迹

Answer 1

解:如下图.因为点A对应的复数为1,直线l过点A且平行于虚轴,所以可设直线l上的点对应的复数为z=1+bi(b∈R).

因此 1/z=1/(1+bi)=(1-bi)/(1+b^2)=1/(1+b^2)-b/(1+b^2)i .
设 1/z=x+yi(x、y∈R),于是
x+yi= 1/(1+b^2) - b/(1+b^2)i
根据复数相等的条件,有 x=1/(1+b^2) y= - b/(1+b^2)i
消去b,有x^2+y^2= 1/(1+b^2)^2 + [- b/(1+b^2)i]^2 化简得1/(1+b^2)=x.
所以x^2+y^2=x(x≠0),
即(x－0.5 )^2 + y^2= 0.25 (x≠0).
所以1/z 所对应的点的集合是以( 0.5,0)为圆心,0.5 为半径的圆,但不包括原点O(0,0).
评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x,y).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x,y)所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一是看对方程的化简是否采用了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中,用参数法求得的曲线方程中的x、y的范围可由参数函数的值域来确定.