如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2，AB=22，∠DAB=45°．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PAD．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2，AB=2√(2)，∠DAB=45°．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PAD．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连结AC，因为底面ABCD是平行四边形，
所以F是AC中点．
在△PAC中，又E是PA中点，所以EF∥PC．
又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，
所以EF∥平面PBC；       
（Ⅱ）在△ABD中，因为AD=2，AB=2√(2)，∠DAB=45°，
由余弦定理得：BD=√(22+(2√(2))2-2×2×2√(2)×(√(2))/(2))=2，
所以BD⊥AD．   
因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，
又BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥面PAD．
因为BD⊂面DEF，
所以平面DEF⊥平面PAD．