已知函数f(x)=e^x-x求证f(1/2)+f(1/3)+f(1/4)...>n+n/4(n+2)

Answer 1

此原题应为已知函数f(x)=e^x-x,求证：f(1/2)+f(1/3)+f(1/4)...+f[1/(n+1)]>n+n/4(n+2)
证明如下：
利用求导的方法,容易证明：f(x)=e^x-x >1+x^2/2,所以：f(1/n)>1+(1/n)^/2,此处省略这一步
对此不等式,分别取n=2,3,...n+1,得到n个不等式,并累加,得：
f(1/2)+f(1/3)+f(1/4)...+f[1/(n+1)]>n+(1/2)[(1/4+1/9+1/16+...+1/(n+1)^2]
利用1/n^2>1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)对中括号中的部分拆项求和得
(1/4+1/9+1/16+...+1/(n+1)^2]=1/2-1/(n+2)=n/[2(n+2)],将此结果代入上面不等式,即可得证