某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3−2x+1（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（

Question

某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3−(2)/(x+1)（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为(4+(20)/(P))万元/万件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

Answer 1

（1）由题意知，该产品售价为2×((10+2P)/(P))万元，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，
∴y＝2×((10+2P)/(P))×P−10−2P−x，
∵P＝3−(2)/(x+1)（其中0≤x≤a，a为正常数），
∴y=2×(10+2(3−(2)/(x+1)))/(3−(2)/(x+1))×(3−(2)/(x+1))-10-2×（3-(2)/(x+1)）-x=16-x-(4)/(x+1)，
∴y＝16−((4)/(x+1)+x)（0≤x≤a），
∴该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数为y＝16−((4)/(x+1)+x)（0≤x≤a）；
（2）由（1）可知，y＝16−((4)/(x+1)+x)（0≤x≤a），
∴y＝17−((4)/(x+1)+x+1)≤17−2√((4)/(x+1)×(x+1))＝13，
当且仅当(4)/(x+1)＝x+1，即x＝1时取等号，
∵0≤x≤a，
①当a≥1时，x=1时，y取得最大值为13，
∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
②当a＜1时，y＝16−((4)/(x+1)+x)，
∴y′＝(−(x−1)•(x+3))/((x+1)2)＞0，解得-3＜x＜1，
∴y＝17−((4)/(x+1)+x+1)在（-3，1）上单调递增，
∴y＝17−((4)/(x+1)+x+1)在[0，a]上单调递增，
∴在x=a时，函数有最大值，
∴促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综合①②可得，当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，
当a＜1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．