已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明

Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．
（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且PG＝(√(3))/(2)PD，求(GD)/(OD)的值；
（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．

Answer 1

（1）PC与PD的数量关系是相等．
证明：过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N．
∵∠AOB=90°，易得∠HPN=90度．
∴∠1+∠CPN=90°，
而∠2+∠CPN=90°，
∴∠1=∠2．
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PH=PN，
又∵∠PHC=∠PND=90°，
∴△PCH≌△PDN；
∴PC=PD．

（2）∵PC=PD，∠CPD=90°，
∴∠3=45°，
∵∠POD=45°，
∴∠3=∠POD．
又∵∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG．
∴(GD)/(OD)＝(PG)/(PD)．
∵PG＝(√(3))/(2)PD，
∴(GD)/(OD)＝(PG)/(PD)＝(√(3))/(2)．

（3）如图1所示，若PR与射线OA相交，则OP=1；
如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则OP=√(2)-1．