如图所示，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G．（1）猜想：∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；（2）∠DOB与∠GOC相等吗？为什么？

Question

如图所示，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G．
（1）猜想：∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；
（2）∠DOB与∠GOC相等吗？为什么？

Answer 1

（1）∠BOC=90°+(1)/(2)∠BAC；  
理由：∵△ABC中，三条角平分线AD、BE、CF相交于点O，
∴∠OBC=(1)/(2)∠ABC，∠OCB=(1)/(2)∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-(1)/(2)（∠ABC+∠ACB）=180°-(1)/(2)（180°-∠BAC）=90°+(1)/(2)∠BAC；

（2）∠DOB与∠GOC．
理由：由（1）知∠AOB=90°+(1)/(2)∠ACB，
∴∠DOB=180°-∠AOB=180°-（90°+(1)/(2)∠ACB）=90°-(1)/(2)∠ACB，
又∵OC平分∠ACB，OG⊥BC，
∴∠GOC=90°-(1)/(2)∠ACB，
∴∠DOB=∠GOC．即∠DOB与∠GOC相等．