椭圆中一组平行弦是不是过原点的最长?证的到么?

Question

椭圆中 一组平行弦 是不是过原点的最长?
证的到么?

Answer 1

很简单,需要计算
设x²/a²+y²/b²=1 a为长半轴,b为短半轴 不妨设y=kx+m k为定值,m为变量,则这是一个直线系
并且y=kx+m与x²/a²+y²/b²=1相交于 A(x1,y1) B(x2,y2)
则得到方程 (b²+a²k²)x²+2kma²+a²m²-a²b²=0
|x1-x2|=√{[(x1+x2)]²-4x1x2}=[-4a²b²m²+4a²b²(b²+a²k²)]/(b²+a²k²)
|AB|=|x1-x2|√(1+k²)={[-4a²b²m²+4a²b²(b²+a²k²)]/(b²+a²k²)}√(1+k²)
其中只有m为变量 显然只需要 m=0 可以得到 |AB|的最大值
即 当y=kx+m过原点时,其与椭圆相交所截长度为最大
也就是说,椭圆中一组平行弦,过原点的最长