若非零整数a、b、c使得方程ax2+bx+c=0的两个相异实根也是方程x3+bx2+ax+c=0的根，则a=．

Question

若非零整数a、b、c使得方程ax²+bx+c=0的两个相异实根也是方程x³+bx²+ax+c=0的根，则a=___．

Answer 1

∵若非零整数a、b、c使得方程ax²+bx+c=0的两个相异实根也是方程x³+bx²+ax+c=0的根，
∴设方程x³+bx²+ax+c=0分解后为（mx+n）（ax²+bx+c）=0，
则（mx+n）（ax²+bx+c）=x³+bx²+ax+c，
即max³+（na+mb）x²+（mc+nb）x+nc=0，
∴ma=1，na+mb=b，nb+mc=a，nc=c，
∴

(b)/(a)+a=b

(c)/(a)+b=a

，∴

b+a2=ab

c+ab=a2

∴b=(a2)/(a-1)，c=-b，
∵a≠0且abc都为整数，即(a2)/(a-1)为整数，
∴a=2是唯一解．
故答案为：2．