下水道的截面是矩形和半圆所构成.当截面面积为定值A时,问矩形的底为多少时,该截面的周长s最短?一个长方形上边一个半圆长X高H半圆的半径X/2

Question

下水道的截面是矩形和半圆所构成.当截面面积为定值A时,问矩形的底为多少时,该截面的周长s最短?
一个长方形上边一个半圆 长X 高H 半圆的半径X/2

Answer 1

就照你设的来算此题.
高为h,半径为R=X/2,
半圆的周长为:3.14*R=1.57X,
该截面的周长s=2H+X+1.57X=2h+2.57x.
h=(S-2.57x)/2
A=h*x+3.14*(x/2)^2/2
=(S-2.57x)*x/2+0.3925x^2,
A=Sx-1.785x^2,
S=(A+1.785x^2)/x
=A/x+1.785x,
≥2√(A*1.785),
当且仅当,A/X=1.785/X时,取等号,
X=√(A/1.785)时,该截面的周长s最短.