x(n+1)=(xn+4)/(xn+1),x1=1,证明,绝对值(xn-2)是绝对值(xn-2)的累加

Question

x(n+1)=(xn+4)/(xn+1),x1=1,证明,绝对值(xn-2)
是绝对值(xn-2)的累加

Answer 1

第一种做法：先求出xn的通项.迭代不动点为2和-2,因此考虑x(n+1)-2=-(xn-2)/(xn+1) x(n+1)+2=3(xn+2)/(xn+1),两式相除得[x(n+1)-2]/[x(n+1)+2]=(-1/3)[xn-2]/[xn+2],因此(xn-2)/(xn+2)是首项为-1/3,公比-1/3的等比数列,得(xn-2)/(xn+2)=(-1/3)^n,由此解出xn=2[3^n+(-1)^n]/[3^n-(-1)^n],有了通项公式,利用数学归纳法可以证明结论.
第二种做法：先用归纳法证明|xn-2|/(xn+1)