假定n阶矩阵A的任意一行中，n个元素的和都是a，试证λ=a是A的特征值，且（1，1，…，1）T是对应于λ=a的特征向量，又问此时A-1的每行元素之和为多少？

Question

假定n阶矩阵A的任意一行中，n个元素的和都是a，试证λ=a是A的特征值，且（1，1，…，1）^T是对应于λ=a的特征向量，又问此时A^-1的每行元素之和为多少？

Answer 1

证明：
假设：A=

a11	…	a1n
⋮	⋱	⋮
an1	…	ann

，
则：

n

k＝1

aik＝a，（i=1…n），
令向量：α=（1，1，…，1）^T，
则：A

1

1

⋮

1

=

n

k＝1

a1k

n

k＝1

a2k

⋮

n

k＝1

ank

=

a

a

⋮

a

=a

1

1

⋮

1

．
从而：λ=a为A的特征值，
对应的特征向量为：（1，1，…，1）^T．

（2）
因为A可逆，
所以(1)/(a)为A^-1的特征值，且对应的特征向量也是：（1，1，…，1）^T，
即：A−1

1

1

⋮

1

＝(1)/(a)

1

1

⋮

1

，
也就是：

b11	…	b1n
⋮	⋱	⋮
bn1	…	bnn

1

1

⋮

1

=

n

k＝1

b1k

n

k＝1

b2k

⋮

n

k＝1

bnk

=

(1)/(a)

(1)/(a)

⋮

(1)/(a)

，
所以A^-1的每行和为(1)/(a)．