设函数f(x)的定义域为R,若存在与x无关的正常数M,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为“有界泛函”,下列函数哪个是“有界泛函”函数?：①f(x)=x²②f(x)=2ˆx③f(x)=xsinx④f(x)=x﹨

Question

设函数f(x)的定义域为R,若存在与x无关的正常数M,使 |f(x)| ≤ M |x| 对一切实数x均成立,则称f(x)为“有界泛函”,下列函数哪个是“有界泛函”函数?：
①f(x)=x²
②f(x)=2ˆx
③f(x)= x sinx
④f(x)= x﹨(x²+x+1)

Answer 1

①因为f(x)恒≥0,所以,不存在M符合条件,故不是.
②因为f(x)恒＞0,无最大值,故也不是
③取一个定义域（-π,π）对函数求导,可以求出其最大值是3√2π/8,故存在M,故是有界泛函函数
④f(x)=1/(x+1+1/x),因为(x+1/x)是≥2或≤-2的,所以函数范围是（0,1/3】并上【-1,0）,所以函数最大值是1/3,所以存在M,故是有界泛函函数.
补充：我认为,M值与X无关,不是随X的改变而改变,M是一个常数!所以不可以用f（x)≤|x|来算.只是本人看法.