如图1，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C（2，-2），CA⊥AB，且CA=AB．（1）求点B的坐标；（2）CA、CB分别交坐标轴于D、E，求证：S△ABD=S△CBD；（3）连DE，如图2，求证：BD-AE=DE．

Question

如图1，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C（2，-2），CA⊥AB，且CA=AB．
（1）求点B的坐标；
（2）CA、CB分别交坐标轴于D、E，求证：S_△ABD=S_△CBD；
（3）连DE，如图2，求证：BD-AE=DE．

Answer 1

（1）作CM⊥x轴于M，
∵C（2，-2），
∴CM=2，CN=2，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠BAO=∠ACM，
在△BAO和△ACM中

∠BAO=∠ACM

∠AOB=∠CMA

AB=AC

∴△BAO≌△ACM，
∴AO=CM=2，OB=AM=AO+OM=2+2=4，
∴B（0，4）．

（2）证明：如图1，作CN⊥y轴于N，
∵AO=2，
∴A（-2，0），
∴OA=CN，
∴BD=BD，
∴根据等底（BD=BD）等高的三角形面积相等得出：S_△ABD=S_△CBD．

（3）证明：在BD上截取BF=AE，连AF，
∵△BAO≌△CAM，
∴∠ABF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中

AB=AC

∠ABF=∠CAE

BF=AE

∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF=CE，∠ACE=∠BAF=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠FAD=45°=∠ECD，
在△AFD和△CED中

AD=DC

∠FAD=∠ECD

AF=CE

∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE=DF，
∴BD-AE=DE．