如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为

Question

如图，关于x的二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

Answer 1

（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x²+bx+c，

1+b+c=0

c=3

解得：b=-4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x²-4x+3；
（2）令y=0，则x²-4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3√(2)，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3√(2)，∴OP=OC+PC=3+3√(2)或OP=PC-OC=3√(2)-3
∴P₁（0，3+3√(2)），P₂（0，3-3√(2)）；
②当BP=BC时，OP=OB=3，
∴P₃（0，-3）；
③当PB=PC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P₄（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3√(2)）或（0，3-3√(2)）或（0，-3）或（0，0）；
（3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，
∴S△MNB=(1)/(2)×（2-t）×2t=-t²+2t=-（t-1）²+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB面积最大，最大面积是1．