已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn=n2+n，数列{bn}满足bn=1anan+1（n∈N*），Tn是数列{bn}的前n项和，则T9等于（）A.919B.1819C.2021D.940

Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且S_n=n²+n，数列{b_n}满足b_n=(1)/(anan+1)（n∈N^*），T_n是数列{b_n}的前n项和，则T₉等于（　　）
A. (9)/(19)
B. (18)/(19)
C. (20)/(21)
D. (9)/(40)

Answer 1

当n=1时，a₁=S₁=1+1=2．
∵S_n=n²+n，
可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n．
当n=1时，上式也成立．
∴an＝2n(n∈N*)．
∴bn＝(1)/(anan+1)=(1)/(2n•2(n+1))=(1)/(4)((1)/(n)−(1)/(n+1))．
∴T_n=(1)/(4)[(1−(1)/(2))+((1)/(2)−(1)/(3))+…+((1)/(n)−(1)/(n+1))]=(1)/(4)(1−(1)/(n+1))＝(n)/(4(n+1))．
∴T9＝(9)/(4×10)＝(9)/(40)．
故选：D．