立体几何综合正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是根号3,侧棱长是3,点E,F分别在BB1,DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D1,求证：A1C⊥面AEF;2,求二面角A-EF-B的大小；3,点B1到面AEF的距离；4,平面AEF延伸将正四棱柱分

Question

立体几何综合
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是根号3,侧棱长是3,点E,F分别在BB1,DD1上,且AE ⊥A1B,AF⊥A1D1,求证：A1C⊥面AEF;2,求二面角A-EF-B的大小；3,点B1到面AEF的距离；4,平面AEF延伸将正四棱柱分割成上下两部分,求V上:V下 要详细解答..花点功夫就能拿分..

Answer 1

(1)A1C在面AA1D1D和面ABA1B1上的投影分别为A1D,A1B
因为AE ⊥A1B,AF⊥A1D,
所以AE⊥A1C,AF⊥A1C
则A1C⊥面AEF
(2)连接B1D1,作A1G⊥B1D1,则A1G⊥面BB1D1D
易证AE=AF且EF//BD,作AH⊥EF,连接GH,所以∠A1HG为面角A-EF-B1
由三角形相似得BE=1,则GH=B1E=2,由于A1G=根号6/2
tan∠A1HG=A1G/GH=根号6/4,
所以面角A-EF-B为π-arctan根号6/4
(3)在直角三角形A1GH中,作GP⊥A1E,则GP⊥面AEF,
因为B1D1//面AEF,所以B1到面AEF的距离即为GP
因为GH=2,A1G=根号6/2,所以A1H=根号22/2
所以GP=A1GXGH/A1H=2根号33/11
（4）…………