（2013•浦东新区二模）如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是2，体积是16，M，N分别是棱BB1、B1C1的中点．（1）求异面直线MN与A1C1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）求过A1，B，

Question

（2013•浦东新区二模）如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长是2，体积是16，M，N分别是棱BB₁、B₁C₁的中点．
（1）求异面直线MN与A₁C₁所成角的大小（结果用反三角表示）；
（2）求过A₁，B，C₁的平面与该正四棱柱所截得的多面体A₁C₁D₁-ABCD的体积．

Answer 1

（1）由题意得16=2²×B₁B，∴B₁B=4．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝√(22+22)=2√(2)=A₁C₁．
同理可得BC1＝BA1＝√(22+42)=2√(5)．
连接BC₁，∵M，N分别是棱BB₁、B₁C₁的中点，∴BC₁∥MN，
∴∠A₁C₁B或其补角是异面直线MN与A₁C₁所成的角．
连接BA₁，在△A₁BC₁中，由余弦定理得cos∠A₁C₁B=((2√(2))2+(2√(5))2−(2√(5))2)/(2×2√(2)×2√(5))=(√(10))/(10)．
∴异面直线MN与A₁C₁所成的角为arccos(√(10))/(10)．
（2）∵VB−A1B1C1＝(1)/(3)×(1)/(2)×2×2×4＝(8)/(3)；
∴VA1C1D1−ABCD＝VABCD−A1B1C1D1−VB−A1B1C1＝16−(8)/(3)＝(40)/(3)，
∴多面体A₁C₁D₁-ABCD的体积为(40)/(3)．