数列与数列极限综合问题设x轴上区间[0,1]的n等分点为P1,P2,...Pn-1,过各分点作x轴的垂线与抛物线y=x^2的交点分别为Q1,Q2,...Qn-1,作以PiQi(i=1,2,...n-1)为高、底边长为1/n的n-1个矩形,它们的面积用Sn表

Question

数列与数列极限综合问题
设x轴上区间[0,1]的n等分点为P1,P2,...Pn-1,过各分点作x轴的垂线与抛物线y=x^2的交点分别为Q1,Q2,...Qn-1,作以 PiQi(i=1,2,...n-1)为高、底边长为1/n的n-1个矩形,它们的面积用Sn表示,计算S=lim(n趋近无穷大)Sn的值

Answer 1

依题意可知:每个矩形的面积是:
|piQi|*1/n (i=1,2,..n)
|PiQi|=(i/n)^2=i^2/n^2
所以
Sn=|PiQi|*(1/n)(i=1,2,..n)
=|PiQi|/n
=i^2/n^3(i=1,2...N)
所以
sn=1/n^3*(1^2+2^2+...+N^2)
=1/6n^3*n*(n+1)(2n+1)
=(n+1)(2n+1)/6n^2
S=lim(n->无穷)(n+1)(2n+1)/6n^2
=lim(n->无穷)(4n+3)/(12n)
=1/3