（1）问题探究如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与

Question

（1）问题探究
如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D₁M与线段D₂N的数量关系，并加以证明．
（2）拓展延伸

①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K₁H₁，K₂H₂，分别交直线AB于点H₁，H₂，使∠AH₁K₁=∠BH₂K₂=∠ACD₁．作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分别为点M，N．D₁M=D₂N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D₁M=D₂N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）

Answer 1

（1）D₁M=D₂N．
证明：∵∠ACD₁=90°，
∴∠ACH+∠D₁CK=180°-90°=90°，
∵∠AHK=∠ACD₁=90°，
∴∠ACH+∠HAC=90°，
∴∠D₁CK=∠HAC，
在△ACH和△CD₁M中，

∠D1CK＝∠HAC

∠AHC＝∠CMD1＝90° 

AC＝CD1

，
∴△ACH≌△CD₁M（AAS），
∴D₁M=CH，
同理可证D₂N=CH，
∴D₁M=D₂N；

（2）①证明：D₁M=D₂N成立．
过点C作CG⊥AB，垂足为点G，
∵∠H₁AC+∠ACH₁+∠AH₁C=180°，
∠D₁CM+∠ACH₁+∠ACD₁=180°，
∠AH₁C=∠ACD₁，
∴∠H₁AC=∠D₁CM，
在△ACG和△CD₁M中，

∠H1AC＝∠D1CM

∠AGC＝∠CMD1＝90°

AC＝CD1

，
∴△ACG≌△CD₁M（AAS），
∴CG=D₁M，
同理可证CG=D₂N，
∴D₁M=D₂N；
②作图正确．
D₁M=D₂N还成立．