如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，E，F分别在棱BB1，DD1上，且AF∥EC1．（1）求证：AE∥FC1；（2）若AA1⊥平面ABCD，四边形AEC1F是边长为6的正方形，且BE=1，DF=2，求线段CC1的长，

Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，E，F分别在棱BB₁，DD₁上，且AF∥EC₁．

（1）求证：AE∥FC₁；
（2）若AA₁⊥平面ABCD，四边形AEC₁F是边长为√(6)的正方形，且BE=1，DF=2，求线段CC₁的长，并证明：AC⊥EC₁．

Answer 1

（1）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，
∴AA₁∥DD₁，AB∥CD…（1分）
∵DD₁、CD⊆平面CDD₁C₁，AA₁、AB⊄平面平面CDD₁C₁，
∴AA₁∥平面CDD₁C₁，AB∥平面CDD₁C₁，…（3分）
∵AA₁、AB⊆平面AA₁B₁B，且AA₁∩AB=A，
∴平面AA₁B₁B∥平面CDD₁C₁，…（4分）
∵AF∥EC₁，∴A、E、C₁、F四点共面．…（5分）
∵平面AEC₁F∩平面AA₁B₁B=AE，平面AEC₁F∩平面CDD₁C₁=FC₁，
∴AE∥FC₁；…（7分）
（2）设连接AC、BD，交于O点．连接AC₁、EF，交于点O₁，连接O₁O
∵四边形ABCD，四边形AEC₁F都是平行四边形，
∴O为AC、BD的中点，O₁为AC₁、EF的中点．…（8分）
∵BE∥DF，∴O₁O=(1)/(2)C₁C=(1)/(2)（BE+EF）．
∵BE=1，DF=2，∴CC₁=3…（10分）
∵AA₁⊥平面ABCD，四边形AEC₁F是正方形，
∴△ACC₁，△ABE，△ADF均为直角三角形，得
AC²=AC12-CC12=2AE²-CC12=12-9=3，AB²=AE²-BE²=6-1=5
BC²=AD²=AD²-DF²=6-4=2
∴AC²+BC²=5=AB²，可得AC⊥BC．…（12分）
∵BB₁⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD
∴AC⊥BB₁．
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C内的相交直线
∴AC⊥平面BB₁C₁C …（13分）
∵EC₁⊆平面BB₁C₁C
∴AC⊥EC₁  …（14分）