（2011•南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C作CC1⊥AB于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作发进行下去，则ACn=(3)n+12n(3)n+12n．

Question

（2011•南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C作CC₁⊥AB于C₁，过点C₁作C₁C₂⊥AC于C₂，过点C₂作C₂C₃⊥AB于C₃，…，按此作发进行下去，则AC_n=

((√(3))n+1)/(2n)

((√(3))n+1)/(2n)

．

Answer 1

∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2 AC=√(3)，
∵CC₁⊥AB于C₁，
∴(√(3))/(2)＝(AC1)/(AC)，
∴AC1＝(3)/(2)＝((√(3))2)/(21)，
∵C₁C₂⊥AC，C₂C₃⊥AB，
∴同理，AC₂=(3√(3))/(4)＝((√(3))3)/(22)，AC₃=(9)/(8)＝((√(3))4)/(23)，
∴AC_n=

作业帮用户 2016-11-27

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问题解析

通过题意可以计算出AB=2 AC=√(3)，根据题意特殊角的三角函数值即可推出(√(3))/(2)＝(AC1)/(AC)，可得AC1＝(3)/(2)＝((√(3))2)/(21)，同理即可推出AC₂=(3√(3))/(4)＝((√(3))3)/(22)，AC₃=(9)/(8)＝((√(3))4)/(23)，所以AC_n=((√(3))n+1)/(2n)．

名师点评

本题考点：

含30度角的直角三角形；垂线；相似三角形的判定与性质．

考点点评：

本题主要考查特殊角的三角函数值，二次根式的化简，垂线的性质等知识点，关键在于熟练运用相关的性质定理推出AC₁，AC₂，AC₃的长度，通过对分子分母的变形归纳出序数与分子分母的次数之间的关系，分析出规律即可．

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