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证明:(1)nk=02kCkn=3n(n∈N);(2)2C2n0+C2n1+2C2n2+C2n3+…+C2n2n-1+2C2n2n=3•22n-1(n∈N);(3)2<(1+1n)n<3(n∈N).
题目详情
证明:(1)
2k
=3n(n∈N);
(2)2C2n0+C2n1+2C2n2+C2n3+…+C2n2n-1+2C2n2n=3•22n-1(n∈N);
(3)2<(1+
)n<3(n∈N).
n |
![]() |
k=0 |
C | k n |
(2)2C2n0+C2n1+2C2n2+C2n3+…+C2n2n-1+2C2n2n=3•22n-1(n∈N);
(3)2<(1+
1 |
n |
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)右式=3n=(1+2)n=C2020+C2121+C2222+…+C2n2n=
2k
=左式;
故得证;
(2)左式=(C2n0+C2n1+C2n3+…+C2n2n)+(C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n)=22n+22n-1=3•22n-1=右式;
故得证;
(3)由二项式定理,(1+
)n=1+
Cn1+
Cn2+…
+Cnn=1+1+
Cn2+…
+Cnn;①
由①知,(1+
)n>2;
另一方面,(1+
)n=1+1+
+
+…+
•
•(n-1)(n-2)…2•1
<1+1+
+
+…+
<1+1+
+
+…+
<1+
n |
![]() |
n−1 |
C | k n |
故得证;
(2)左式=(C2n0+C2n1+C2n3+…+C2n2n)+(C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n)=22n+22n-1=3•22n-1=右式;
故得证;
(3)由二项式定理,(1+
1 |
n |
1 |
n |
1 |
n2 |
1 |
nn |
1 |
n2 |
1 |
nn |
由①知,(1+
1 |
n |
另一方面,(1+
1 |
n |
1 |
2! |
n−1 |
n |
1 |
3! |
(n−1)(n−2) |
n2 |
1 |
n! |
1 |
nn−1 |
<1+1+
1 |
2! |
1 |
3! |
1 |
n! |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
2n−1 |
<1+
1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1−
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