（2014•硚口区二模）将抛物线C1：y=x2平移后的抛物线C2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）与y轴负半轴交于C点，已知A（-1，0），tan∠CAB=3．（1）求抛物线C2的解析式；（2）若抛物线C2上有

Question

（2014•硚口区二模）将抛物线C₁：y=x²平移后的抛物线C₂与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）与y轴负半轴交于C点，已知A（-1，0），tan∠CAB=3．

（1）求抛物线C₂的解析式；
（2）若抛物线C₂上有且只有三个点到直线BC的距离为n，求出n的值；
（3）D为抛物线C₂的顶点，Q是线段BD上一动点，连CQ，点B，D到直线CQ的距离记为d₁，d₂，试求d₁+d₂的最大值，并求出此时Q点坐标．

Answer 1

（1）设抛物线C₂的解析式为y=x²+bx+c，如图1，
在Rt△AOC中，tan∠CAO=(OC)/(OA)=3，OA=1，
则有OC=3，C（0，-3）．
∵点A（-1，0）、点C（0，-3）在抛物线y=x²+bx+c上，
∴

1−b+c＝0

c＝−3

．
解得：

b＝−2

c＝−3

．
∴抛物线C₂的解析式为y=x²-2x-3．
（2）可设直线BC的解析式为y=mx+t，如图2，
∵点B是抛物线C₂与x轴的一个交点，
∴y_B=0，即x²-2x-3=0．
解得：x₁=-1，x₂=3．
则有B（3，0）．
∵点C（0，-3）、点B（3，0）在直线BC上，
∴

t＝−3

3m+t＝0

．
解得：

作业帮用户 2016-12-03

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问题解析

（1）可设抛物线C₂的解析式为y=x²+bx+c，由条件可求出点C的坐标，然后把点A、点C的坐标代入该解析式即可解决问题．
（2）在抛物线C₂上且在直线BC的上方必存在两点到直线BC的距离为n，故在抛物线C₂上且在直线BC的下方存在唯一的点到直线BC的距离为n，只需求出与直线BC平行且与抛物线C₂相切的直线EF的解析式，然后求出直线BC与直线EF之间的距离，就得到n的值．
（3）由d₁+d₂可联想到面积，事实上，S_△BCD=S_△BCQ+S_△DCQ=(1)/(2)CQ（d₁+d₂），由于S_△BCD是定值，因此当CQ长度最小时，d₁+d₂的值最大，此时CQ⊥BD，利用面积法可求出CQ的最小值，进而求出d₁+d₂的最大值，然后利用三角形相似就可求出此时Q点坐标．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：

本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、直线与抛物线的交点问题、相似三角形的判定与性质、根的判别式、勾股定理及其逆定理等知识，综合性比较强，而运用面积法将d₁+d₂的最大值转化为CQ的最小值是解决第三小题的关键．

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