设d为实数，d≠0且d≠-1，数列{an}中a1=d，当n≥2时，an=C0n-1d+C1n-1d2+…+Cn-2n-1dn-1+Cn-1n-1dn，数列{bn}对任何正整数n都有：anb1+an-1b2+an-2b3+…a2bn-1+a1bn=2n+1-n-2．（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）

Question

设d为实数，d≠0且d≠-1，数列{a_n}中a₁=d，当n≥2时，a_n=

C

0 n-1

d+

C

1 n-1

d²+…+

C

n-2 n-1

d^n-1+

C

n-1 n-1

dⁿ，数列{b_n}对任何正整数n都有：a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…a₂b_n-1+a₁b_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）判断数列{b_n}是否是等差数列，若是请求出通项公式；若不是，说明理由．
（Ⅲ）若d=1，c_n=(3bn-1)/(3bn-2)，证明：c₁c₂…c_n＞

3

3n+1

．

Answer 1

证明：（Ⅰ）n≥2时，a_n=

C

0 n-1

d+

C

1 n-1

d²+…+

C

n-2 n-1

d^n-1+

C

n-1 n-1

dⁿ，=d（1+d）^n-1，
∵a₁=d吻合上式，∴a_n=d（1+d）^n-1，
∵d≠0且d≠-1，∴a_n≠0，
所以{a_n}是以d为首项，d+1为公比的等比数列；
（Ⅱ）因为对任何正整数n都有：a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…a₂b_n-1+a₁b_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
所以对任何正整数n，n≥2时，a_n-1b₁+a_n-2b₂+a_n-3b₃+…a₂b_n-2+a₁b_n-1=2ⁿ-n-1，
对任何正整数n，n≥2时，（2ⁿ-n-1）（1+d）+dbn=2n+1-n-2，
bn=(1-d)/(d)×2n+n+(d-1)/(d)（n≥2），
又db1=22-1-2=1，b1=(1)/(d)吻合上式，
∴对任何正整数n，bn=(1-d)/(d)×2n+n+(d-1)/(d)，
bn+1-bn=(1-d)/(d)•2n+1，
当d=1时，数列{b_n}是等差数列，其通项公式是b_n=n；
当d≠1时，数列{b_n}不是等差数列．
（Ⅲ）由Ⅱ知，当d=1时，b_n=n，cn=(3n-1)/(3n-2)，
∴(3n-1)/(3n-2)＞(3n)/(3n-1)＞(3n+1)/(3n)＞0，
∴((3n-1)/(3n-2))3＞(3n+1)/(3n-2)，
即(3n-1)/(3n-2)＞

3	(3n+1)/(3n-2)

，
∴c₁c₂…c_n＞

3

(4)/(1)

3

(7)/(4)

3

(10)/(7)

…

3	(3n+1)/(3n-2)

=

3

3n+1

．