统计,最大似然估计的问题设某种电器寿命（以小时计）T服从双参数指数分布,其概率密度为：f(t)=1/θ×e-（t-c）/θ,x≥c0,x＜c其中,c,θ(c,θ＞0)为未知参数,自一批这种器件中随机取n件进行寿命

Question

统计,最大似然估计的问题
设某种电器寿命（以小时计）T服从双参数指数分布,其概率密度为：
f(t)= 1/θ×e-（t-c）/θ,x≥c
0,x＜c
其中,c,θ(c,θ＞0)为未知参数,自一批这种器件中随机取n件进行寿命试验.设他们的寿命依次为x1,x2,……,xn.求c和θ的最大似然估计.
就是f（t）=1/θ*e^[(t-c)/θ],我就是不知自己哪步错了。感激不尽

Answer 1

L(θ,c)=∏f(xi)(i=1,2,…,n)(x>=c)
然后对取L(θ,c)的对数,再对L(θ,c)求分别求偏导,令它=0,即可得出θ,c与x1,x2,…,xn的关系,根据实际意义选取合适的值；下面是具体步骤：
1.先写出L(θ,c)=f(x1)*f(x2)…f(xn)
Ln(L)=-nLnθ-(1/θ)(∑xi-nc)
2.对c求偏导=n/θ>0;
而由题意有x>=c,所以c的极大似然估计量为min(x1,x2,…,xn)
3.对θ求偏导,=-(n/θ)+(1/θ^2)(∑xi-nc)
令它=0,所以θ=(1/n)(∑xi)-c
4.综合上面所述,所以c的极大似然估计量为min(xi)
θ的极大似然估计量为(1/n)(∑xi)-min(xi)