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设直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有a+b<c+h成立,某同学通过类比得到如下四个结论:①a2+b2>c2+h2;②a3+b3<c3+h3;③a4+b4>c4+h4;④a5+b5<c5+h5.其中
题目详情
设直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有a+b<c+h成立,某同学通过类比得到如下四个结论:①a2+b2>c2+h2;②a3+b3<c3+h3;③a4+b4>c4+h4;④a5+b5<c5+h5.
其中正确结论的序号是 ;进一步类比得到的一般结论是 .
其中正确结论的序号是 ;进一步类比得到的一般结论是 .
▼优质解答
答案和解析
由a+b<c+h成立,我们可以类比给出a3+b3<c3+h3;a4+b4<c4+h4;a5+b5<c5+h5等,再逐一分析它们的真假,再根据其中的规律,归纳猜想出一般性的结论.
【解析】
在直角三角形ABC中,a=csinA,b=ccosA,ab=ch,所以h=csinAcosA.
于是an+bn=cn(sinnA+cosnA),cn+hn=cn(1+sinnAcosnA).an+bn-cn-hn=cn(sinnA+cosnA-1-sinnAcosnA)=cn(sinnA-1)(1-cosnA)<0.
所以an+bn<cn+hn(n∈N*).
【解析】
在直角三角形ABC中,a=csinA,b=ccosA,ab=ch,所以h=csinAcosA.
于是an+bn=cn(sinnA+cosnA),cn+hn=cn(1+sinnAcosnA).an+bn-cn-hn=cn(sinnA+cosnA-1-sinnAcosnA)=cn(sinnA-1)(1-cosnA)<0.
所以an+bn<cn+hn(n∈N*).
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